Robust and Efficient Delaunay Triangulations of Points on Or Close to a Sphere

We propose two ways to compute the Delaunay triangulation of points on a sphere, or of rounded points close to a sphere, both based on the classic incremental algorithm initially designed for the plane. We use the so-called space of circles as mathematical background for this work. We present a fully robust implementation built upon existing generic algorithms provided by the cgal library. The e ciency of the implementation is established by benchmarks. Key-words: Computational Geometry, Convex hull, Delaunay Triangulation, Voronoi Diagram, Sphere, Space of Circles, Exact Geometric Computing, cgal This work was partially supported by the ANR (Agence Nationale de la Recherche) under the Triangles project of the Programme blanc ANR-07-BLAN-0319 http://www.inria.fr/geometrica/collaborations/triangles/. ∗ INRIA Sophia Antipolis Méditerranée [Email: {Manuel.Caroli, Pedro.Machado, Sebastien.Loriot, Monique.Teillaud}@sophia.inria.fr] † ETH Zürich, Switzerland [Email: [email protected]] in ria -0 04 05 47 8, v er si on 4 17 D ec 2 00 9 Triangulation de Delaunay robuste et e cace, pour des points sur la sphère ou proche d'elle Résumé : Nous proposons deux façons de calculer la triangulation de Delaunay d'un ensemble de points qui appartiennent soit à la sphère, soit à son voisinage. Ces deux méthodes reposent sur l'algorithme incrémental classique, tel qu'il a été créé à l'origine pour calculer les triangulations de Delaunay planaires. Le cadre mathématique classique justi ant cette approche est rappelé, à l'aide de l'espace des cercles. Ces deux approches ont été implantées de façon robuste en s'appuyant sur les algorithmes génériques fournis par la bibliothèque CGAL. Des tests comparatifs montrent l'e cacité de nos implantations sur des jeux de données de taille variée. Mots-clés : Géométrie algorithmique, Enveloppe convexe, Triangulation de Delaunay, Diagramme de Voronoï, Sphère, Espace des cercles, Calcul géométrique exacte, cgal in ria -0 04 05 47 8, v er si on 4 17 D ec 2 00 9 Triangulation on the sphere 3